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Gegeben seien die Mengen

\begin{align*} A &= \{2, 3, 5, 6, 8\}\\ B &= \{2, 3, 5, 8\}\\ C &= \{1, 2, 3, 5, 6, 7\} \end{align*}
  1. Gilt $B \subseteq A$?
  2. Gilt $B \subseteq C$?

  1. Da jedes Element von $B$ auch in $A$ enthalten ist, gilt $B \subseteq A$.

  2. Da nicht jedes Element von $B$ auch in $C$ enthalten ist (nämlich 8 nicht), gilt $B \not\subseteq C$.

Gegeben seien die Mengen $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ und $B = \{ x \in \mathbb{N} ~|~ 2 \le x \le 6 \}$

Gilt $B \subseteq A$?

Es gilt:

\begin{align*} B &= \{ x \in \mathbb{N} ~|~ 2 \le x \le 6 \}\\ &= \{2, 3, 4, 5, 6\} \\[0.25cm] A &= \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \end{align*}

Da jedes Element von $B$ auch in $A$ enthalten ist, gilt $B \subseteq A$.

Beurteile anhand des Diagramms, welche der folgenden Aussagen wahr sind.

  1. $7 \in A$

  2. $2 \in C$

  3. $\{4, 7, 2\} \subseteq C$

  4. $\{4, 7, 2\} \subseteq B$

  5. $\{~\} \subseteq A$

  6. $A \subseteq \{~\}$

  7. $\{1, 2, 3\} \not\subseteq A$

  8. $A \subseteq C$

  9. $A \in C$

  1. Wahr, da 7 in $A$ enthalten ist.

  2. Falsch, da 2 nicht in $C$ enthalten ist.

  3. Falsch, da 2 nicht in $C$ enthalten ist.

  4. Wahr, da 4, 7 und 2 in $B$ enthalten sind.

  5. Wahr, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist.

  6. Falsch, da $A$ nicht die leere Menge ist.

  7. Wahr, da 3 nicht in $A$ enthalten ist.

  8. Falsch, da 1 und 2 nicht in $C$ enthalten sind.

  9. Falsch, da $A$ eine Menge ist; $C$ als Elemente aber nur Zahlen enthält.

Gib die folgenden Mengen in aufzählender Mengendarstellung an.

  1. $A = \{ x \in \mathbb{N} ~|~ 3 \le x \le 8 \}$

  2. $B = \{y \ \in \mathbb{Z} ~|~ -2 \lt y \le 4 \}$

  3. $C = \{ z \in \mathbb{N} ~|~ z~~\text{ist Teiler von 24} \}$

  1. $A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

  2. $B = \{ -1, 0, 1, 2, 3, 4 \}$

  3. $C = \{ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \}$

Finde für die folgenden Mengen eine passende Beschreibung („was zeichnet sie aus?“). Gib anschließend in beschreibender Mengendarstellung an. Verschiedene Lösungen sind möglich.

  1. $A = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

  2. $B = \{5, 6, 7, 8, ...\}$

  3. $C = \{3, 6, 9, 12, 15, ...\}$

Verschiedene Lösungen sind möglich. Hier sind einige Beispiele:

  1. $A = \{x \in \mathbb{Z} ~|~ -1 \le x \lt 9\}$

  2. $B = \{y \in \mathbb{N} ~|~ y > 4\}$

  3. $C = \{ l \in \mathbb{N} ~|~ l~~\text{ist Vielfaches von 3} \}$

Es sind die Mengen $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{1, 2, 3, 5, 8\}$ und $C = \{2, 3, 5, 7\}$ gegeben.

  • Berechne die folgenden Terme, indem du die Mengen einsetzt und den Term vereinfachst. Gib den Term anschließend in aufzählender Darstellung an.
  • Zeichne eine Venn-Diagramm für die Mengen $A$, $B$, $C$. Färbe den Bereich ein, der zu dem Term gehört.

  1. $A \cup B \cup C$

  2. $A \cap B \cap C$

  3. $(A \cap B) \setminus C$

  4. $(C \setminus B) \setminus A$

  5. $A \setminus (B \cup C)$

  6. $(A \setminus C) \cap B$

  1. \begin{align*} & A \cup B \cup C\\ =& \{2, 4, 6, 8\} \cup \{1, 2, 3, 5, 8\} \cup \{2, 3, 5, 7\}\\ =& \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\} \cup \{2, 3, 5, 7\}\\ =& \underline{\underline{\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}}} \end{align*}
  2. \begin{align*} & A \cap B \cap C\\ =& \{2, 4, 6, 8\} \cap \{1, 2, 3, 5, 8\} \cap \{2, 3, 5, 7\}\\ =& \{2, 8\} \cap \{2, 3, 5, 7\}\\ =& \underline{\underline{\{2\}}} \end{align*}
  3. \begin{align*} & (A \cap B) \setminus C\\ =& (\{2, 4, 6, 8\} \cap \{1, 2, 3, 5, 8\}) \setminus \{2, 3, 5, 7\}\\ =& \{2, 8\} \setminus \{2, 3, 5, 7\}\\ =& \underline{\underline{\{8\}}} \end{align*}
  4. \begin{align*} & (C \setminus B) \setminus A\\ =& (\{2, 3, 5, 7\} \setminus \{1, 2, 3, 5, 8\}) \setminus \{2, 4, 6, 8\}\\ =& \{7\} \setminus \{2, 4, 6, 8\}\\ =& \underline{\underline{\{7\}}} \end{align*}
  5. \begin{align*} & A \setminus (B \cup C)\\ =& \{2, 4, 6, 8\} \setminus (\{1, 2, 3, 5, 8\} \cup \{2, 3, 5, 7\})\\ =& \{2, 4, 6, 8\} \setminus \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}\\ =& \underline{\underline{\{4, 6\}}} \end{align*}
  6. \begin{align*} & (A \setminus C) \cap B\\ =& (\{2, 4, 6, 8\} \setminus \{2, 3, 5, 7\}) \cap \{1, 2, 3, 5, 8\}\\ =& \{4, 6, 8\} \cap \{1, 2, 3, 5, 8\}\\ =& \underline{\underline{\{8\}}} \end{align*}

Gib jeweils einen Term an, welcher der grauen Fläche im Mengendiagramm entspricht. Bps. für das erste Venn-Diagramm: $(X \cup Y) \setminus Z$.

Es sind verschiedene Lösungen möglich. Hier sind einige Beispiele:

  1. $(X \cup Y) \setminus Z$

  2. $((X \cup Y) \setminus Z) \setminus (X \cup Y)$

  3. $X \cap Y \cap Z$

  4. $(X \cup Y \cup Z) \setminus (X \cap Y \cap Z)$

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